上司から「残業は10時間以内しか認めないので、超過勤務した部分については申請をしないでほしい」といわれました。また、「業務命令を出していないのだから認められない」とも言われました。賃金の不払いにはならないのでしょうか。

賃金の不払いとなります。
残業をさせたくないのであれば、限度の時間になりしだい職員に帰宅するよう指導すること(使用者には施設「職場」管理権と共に管理義務もあります)が必要ですし、残業している実態があるにもかかわらず超過分について申請させないことは、経理上経営者がやってはならない虚偽の帳簿(粉飾帳簿)を作成することになり、労働基準法違反の証拠隠滅行為となります。